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números poligonais

No séulo XIX, Cauchy demonstrou um enunciado proposto por Fermat com relação aos números poligonais: "Todo número inteiro é a soma de, no mínimo, 3 números triangulares, ou no mínimo 4 números quadráticos, ou no mínimo 5 números pentagonais e assim por diante."

Mas o que é esses números poligonais ?

Os números poligonais é números que se podem representar os números geometricamente através de pontos igualmente espalhados entre si formando polígonos regulares.

Por exemplo, os números triangulares, os primeiros que se apresentam na tabela seguinte, podem-se representar através de pontos dispostos em tri?gulos.
Na tabela, a seguir aos números triangulares, tens os quadrados, os pentagonais, os hexagonais e os octogonais.

Veja as formulas dos números poligonais na tabela abaixo:

Forma	Fórmula Recursiva	Fórmula Iterativa	Fórmula Fechada
Triângulo	T(n+1) = T(n) + (n+1)	T(n) = 1+2+3+ ... +n	T(n) = n (n+1) / 2
Quadrado	Q(n+1) = Q(n) + (2n+1)	Q(n) = 1+3+5+ ... +(2n-1)	Q(n) = n²
Pentágono	P(n+1) = P(n) + (3n+1)	P(n) = 1+4+7+ ... +(3n-2)	P(n) = n (3n-1) / 2
Hexágono	H(n+1) = H(n) + (4n+1)	H(n) = 1+5+9+ ... +(4n-3)	H(n) = n (2n-1)
?	?	?	...
Polígono de k lados	L(n+1) = L(n) + ((k-2)n+1)	L(n) = 1+(k-1)+(2k-3)+ ... +((k-2)n-(k-3))	L(n) = ((k-2)n² - (k-4)n)/2

PROVA POR INDUÇÃO

A Prova por indução consiste em duas etapas:

A Primeira é verificar se o enunciado vale para o primeiro caso

A segunda etapa consiste em supor que o enunciado é válido para n, e mostrar que também será válido para n+1.

exemplo:

Suponha que desejemos provar o seguinte enunciado:

$1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n(n + 1)}{2}$

para todos os números naturais n. Esta é uma fórmula simples para a soma dos números naturais de 1 a n. A prova de que o enunciado é verdadeiro para todos os números naturais n é dada a seguir.

Demonstração

O primeiro passo consiste em determinar a base da prova por indução. Neste caso, tomaremos como base n = 1. Claramente, do lado esquerdo da equação fica 1 e do lado direito 1(1 + 1) / 2, resolvendo dá 1=1. Então o enunciado é verdadeiro para n = 1.
Agora precisamos provar que o enunciado vale para n = k.
Por hipótese de indução, a equação vale para n = k-1, ou seja:

$1 + 2 + ... + (k - 1)= \frac{(k - 1)((k - 1) + 1)}{2}$

Adicionando k a ambos os lados, a igualdade se mantém, então:

$1 + 2 + ... + (k - 1) + k = \frac{(k - 1)((k - 1) + 1)}{2} + k$

Por manipulação algébrica, temos:

$= \frac{(k - 1)((k - 1) + 1)}{2} + \frac{2k}{2} = \frac{k(k - 1) + 2k}{2}$

Logo:

$1 + 2 + ... + (k - 1) + k = \frac{k(k + 1)}{2}$

Este último é o enunciado para n = k. Note que, assumindo que P(K - 1) é verdadeiro, podemos concluir que P(K) é verdadeiro. Simbolicamente, mostramos que:

$P(k-1) \Rightarrow P(k)$

Por indução, no entanto, podemos concluir que o enunciado P(n) vale para todos os números naturais n:

Primeiro provamos que a base de indução (n=1, neste caso) é verdadeira;
Depois, por hipótese de indução temos que P(k-1) é verdadeiro, então precisamos provar que P(k) também é verdadeiro.
Provando que o passo da indução está correto, concluimos que P(n) é verdadeiro para qualquer número n natural.

fonte http://pt.wikipedia.org/wiki/Indu%C3%A7%C3%A3o_matem%C3%A1tica

D_t =	número de disciplinas trancadas;
D_c=	número total de disciplinas cursadas (incluindo trancadas e com reprovação;
P_i =	nota final da disciplina "i";
Cr_i=	número de créditos da disciplina "i";
Pe_i=	período em que a disciplina "i" foi cursada, obedecendo Ã seguinte limitação: Pe_i = mínimo{6, semestre em que a disciplina foi cursada}.

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