números
poligonais
No séulo XIX, Cauchy demonstrou um enunciado proposto por Fermat com
relação aos números poligonais: "Todo número inteiro é a
soma de, no mínimo, 3 números triangulares, ou no mínimo 4 números
quadráticos, ou no mínimo 5 números pentagonais e assim por
diante."
Mas
o que é esses números poligonais ?
Os
números poligonais é números que se podem representar os números
geometricamente através de pontos igualmente espalhados entre si
formando polígonos regulares.
Por
exemplo, os números triangulares, os primeiros que se apresentam na
tabela seguinte, podem-se representar através de pontos dispostos em
tri?gulos.
Na tabela, a seguir aos números triangulares, tens os quadrados, os pentagonais, os hexagonais e os octogonais.
Na tabela, a seguir aos números triangulares, tens os quadrados, os pentagonais, os hexagonais e os octogonais.
Veja as formulas dos números poligonais na tabela abaixo:
Forma
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Fórmula
Recursiva
|
Fórmula
Iterativa
|
Fórmula
Fechada
|
Triângulo
|
T(n+1) = T(n) + (n+1)
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T(n) = 1+2+3+ ... +n
|
T(n) = n (n+1) / 2
|
Quadrado
|
Q(n+1) = Q(n) + (2n+1)
|
Q(n) = 1+3+5+ ... +(2n-1)
|
Q(n) = n2
|
Pentágono
|
P(n+1) = P(n) + (3n+1)
|
P(n) = 1+4+7+ ... +(3n-2)
|
P(n) = n (3n-1) / 2
|
Hexágono
|
H(n+1) = H(n) + (4n+1)
|
H(n) = 1+5+9+ ... +(4n-3)
|
H(n) = n (2n-1)
|
?
|
?
|
?
|
...
|
Polígono de k lados
|
L(n+1)
=
L(n) + ((k-2)n+1)
|
L(n)
=
1+(k-1)+(2k-3)+ ...
+((k-2)n-(k-3))
|
L(n)
=
((k-2)n2 -
(k-4)n)/2
|
PROVA POR INDUÇÃO
A Prova por indução consiste em duas etapas:
A Primeira é verificar se o enunciado vale para o primeiro caso
A segunda etapa consiste em supor que o enunciado é válido para n, e mostrar que também será válido para n+1.
exemplo:
Suponha que desejemos provar o seguinte enunciado:
Demonstração
O primeiro passo consiste em determinar a base da prova por indução. Neste caso, tomaremos como base n = 1. Claramente, do lado esquerdo da equação fica 1 e do lado direito 1(1 + 1) / 2, resolvendo dá 1=1. Então o enunciado é verdadeiro para n = 1.Agora precisamos provar que o enunciado vale para n = k.
Por hipótese de indução, a equação vale para n = k-1, ou seja:
- Primeiro provamos que a base de indução (n=1, neste caso) é verdadeira;
- Depois, por hipótese de indução temos que P(k-1) é verdadeiro, então precisamos provar que P(k) também é verdadeiro.
- Provando que o passo da indução está correto, concluimos que P(n) é verdadeiro para qualquer número n natural.
fonte http://pt.wikipedia.org/wiki/Indu%C3%A7%C3%A3o_matem%C3%A1tica
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